تئوری بیز علت و واحدهای سازنده شبکه بیزین

فهرست:

• مبانی احتمال
• قانون احتمال کل
• فرمول بیز برای احتمال شرطی
• قضیه بیز و ماهیت علیت
• شبکه بیزین
• شرح کلی توزیع احتمال مشترک شبکه بیزین
• مثالی گویا از کاربرد
• جدا کننده نفت و گاز
• حساسیت به یافته ها
• استفاده از توابع توزیع احتمال و گسسته سازی
• چارچوب کاربرد شبکه بیزین برای خطرات عمده
• منابع داده های مربوط به نقص
• داده های منتشر شده
• گزارش های صنعت

این بخش شامل مبانی احتمال، تئوری بیز و ماهیت علیت است. همچنین کاربرد تئوری بیز برای علت و معلولی و در نتیجه درک حوادث و رویدادها و واحدهای سازنده شبکه‌های بیزین (BN) در این بخش معرفی می‌شوند. در بخش‌های بعدی موارد مشخصی به روشی ساده توصیف می‌شود، تا خواننده بتواند قدرت و انعطاف‌پذیری شبکه بیزین را به سرعت درک کند.

1- مبانی احتمال

سه رویکرد اصلی یعنی کلاسیک، مکررگرایی (Frequentist) و بیزین برای احتمال وجود دارد. این رویکردها در زیر با مثالی از چرخاندن یک تاس تکی با ۶ وجه و با شماره‌های ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ و ۶ در هر وجه به صورت خلاصه ارائه می‌شوند. لازم به ذکر است که وقتی یک تاس را می‌اندازیم، اگرچه نمی‌توانیم نتیجه را پیش‌بینی کنیم، اما مجموعه تمام نتایج ممکن را می‌دانیم. ما فضای نمونه را به عنوان مجموعه‌ای از تمام نتایج ممکن مانند موارد فوق تعریف می‌کنیم.

۱-۱- رویکرد کلاسیک: بیان می‌کند که وقتی یک تاس انداخته می‌شود، شانس احتمالی یکسانی (شش نتیجه ممکن) برای نمایش هر یک از اعداد وجود دارد.
۲-۱- رویکرد مکررگرایی: هنگامی که فردی یک تاس را به طور مکرر می‌اندازد، مثلاً ۱۰۰۰ بار (از لحاظ نظری بی‌نهایت بار) و اعدادی را که برای هر پرتاب به دست می‌آید ثبت کند، می‌توان الگویی را پیدا کرد که هر عدد تقریباً ۱/۶ (یک از شش) از تعداد کل پرتاب‌ها را نشان دهد، یعنی ۱۶۷ = ۱۰۰۰ × ۱/۶. اگر آزمایش بی‌نهایت بار تکرار شود، عدد به ۱/۶ همگرا می‌شود. سپس می‌توانیم بگوییم که احتمال یک عدد، برای مثال بالا آمدن عدد ۴، برابر ۱/۶ است.
۳-۱- رویکرد بیزین: یک رویکرد ذهنی است و بیان می‌کند که این باور آزمایشگر است که احتمال آمدن یک عدد ۱/۶ است.

دو روش اول به عنوان روش‌های عینی (Objective) شناخته می‌شوند، در حالی که رویکرد بیزین به عنوان روش ذهنی (Subjective) شناخته شده است. بدیهیات اصلی و بنیادی احتمال در اینجا بدون توضیح بیشتر در مورد مرجع و استمرار آورده شده است:

اصل ۱: وقتی فضای نمونه S با n تعداد رویداد در نظر می‌گیریم، احتمال هر رویداد حداقل ۰ است. یعنی برای هر رویداد A، P(A) ≥ 0. چیزی به نام احتمال منفی وجود ندارد.

اصل ۲: احتمال کل فضای نمونه ۱ یا ۱۰۰٪ است، زیرا فضای نمونه S شامل تمام نتایج ممکن است.

اصل ۳: اگر A1 و A2 رویدادهای دو به دو ناسازگار (Exclusive or disjoint events) باشند، احتمال رخداد مجموع آن‌ها توسط رابطه زیر به دست می‌آید:

P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2)

بر اساس بدیهیات فوق، قضایای خاصی در مورد احتمال می‌توان نوشت که بدون اثبات در زیر آورده شده‌اند:

قضیه ۱: احتمال متمم یک رویداد برابر با یک منهای احتمال آن رویداد است. یعنی اگر مکمل آن رویداد به صورت ¬A نوشته شود، آنگاه P(¬A) = 1 – P(A)؛ گاهی اوقات به صورت A/ نوشته می‌شود.
قضیه ۲: برای هر دو رویداد در فضای نمونه، احتمال وقوع مجموع رویدادها برابر مجموع احتمالات دو رویداد منهای احتمال وقوع هر دو رویداد با هم است:

P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2)

خوانندگان ممکن است متوجه شوند که تفاوت بین تعاریف در اصل ۳ و قضیه ۲ کلمه “دو به دو ناسازگار” است. در اصل ۳ سمت راست (RHS) معادله، احتمال وقوع هر یک از رویدادها است و A و B با هم رخ نمی‌دهند. دو قضیه فوق به راحتی در شکل 1 قابل مشاهده هستند.

شکل 1: قضیه ۱ و ۲ احتمال

رویدادهای مستقل و شرطی:

یک رویداد A زمانی مستقل است که احتمال وقوع رویداد P(A) تحت تاثیر رویداد دیگری یعنی B که احتمال آن P(B) است، قرار نگیرد. فرض کنید ما دو آزمایش را یکی پس از دیگری انجام می‌دهیم، یک سکه را می‌اندازیم و یک تاس را می‌چرخانیم. این‌ها دو رویداد جدا از هم هستند.

احتمال رخ داد خط هنگام انداختن سکه: P(H) = 1/2
احتمال رخ داد ۳ هنگام چرخاندن تاس: P(3) = 1/6
احتمال رخ داد خط هنگام انداختن سکه بر احتمال رخ داد ۳ هنگام چرخاندن تاس تاثیر نمی‌گذارد. مشاهده می‌شود که این دو رویداد مستقل هستند.
با این حال، وقتی می‌خواهیم احتمال وقوع دو رویداد را به طور مشترک بدانیم، یعنی: احتمال رخ دادن خط (H) در انداختن سکه و احتمال به دست آوردن ۳ هنگام چرخاندن تاس، (3)P، ضرب احتمال رخداد اول با احتمال رخداد دوم خواهد بود:

P(A, B) = P(A) × P(B)

که قانون ضرب احتمال است. حالا چه اتفاقی می‌افتد وقتی رویداد اول بتواند روی رویداد دوم تاثیر بگذارد؟

برای مثال، پزشکان به این نتیجه می‌رسند که اگر بیمار مجموعه‌ای از علائم را داشته باشد، پس بیماری خاصی دارد. یعنی احتمال ابتلای بیمار به بیماری خاصی، بستگی به وجود مجموعه‌ای از علائم دارد. اجازه دهید احتمال وقوع یک رویداد A را با توجه به اینکه رویداد B رخ داده است در نظر بگیریم. این را می‌توان با استفاده از نمودار ون (Venn diagram) ارائه شده در شکل 2 تجسم کرد.

داخل قسمت همپوشانی، P(A) بستگی دارد، یعنی P(A ∩ B)

شکل 2: نمایش نمودار ون، رویداد A، با توجه به B رخ داده است.

اجازه دهید احتمال رویداد B و احتمال رویداد A را در فضای نمونه S در نظر بگیریم. برای محاسبه احتمال وقوع یک عنصر از A زمانی که می‌دانیم B اتفاق افتاده است، B را به عنوان یک فضای نمونه جدید در نظر می‌گیریم و فقط به عناصر فضای نمونه که متعلق به رویداد B هستند نگاه می‌کنیم. سپس به عناصر A که در B نیز هستند نگاه می‌کنیم. این عناصر در تقاطع آن‌ها هستند (یعنی احتمال وقوع A و B با هم) و می‌توان آن‌ها را به صورت زیر نوشت:

P(A, B) = P(A ∩ B)

احتمال به دست آوردن یک نتیجه در رویداد تقاطع A ∩ B به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

P(A ∩ B) / P(B) = (تعداد نتایج در A ∩ B / تعداد نتایج در S) / (تعداد نتایج در B / تعداد نتایج در S)

احتمال شرطی را با علامت «|» می‌نویسیم. به عنوان مثال، وضعیت فوق را می‌توان به صورت P(A|B) نوشت:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

احتمال شرطی P(A|B) را احتمال پسین (Posterior probability) می‌نامند زیرا احتمال رخداد A را پس از وقوع رویداد B می‌دهد. احتمال P(A) به عنوان احتمال پیشین (Prior probability) شناخته می‌شود زیرا احتمال رویداد A را قبل از وقوع هر اتفاق دیگری می‌دهد.

توضیح موارد فوق:

P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B)

تعمیم اصل به سه متغیر:

P(A ∩ B ∩ C) = P(A|BC) × P(BC) = P(A|BC) × P(B|C)P(C)

که می‌توان آن را تعمیم داد:

P(A1, …, An) = P(A1|A2, A3, …, An) × P(A2|A3, A4, …, An) × … × P(An-1|An) × P(An)

این قانون زنجیره‌ای نامیده می‌شود و وسیله‌ای برای محاسبه کامل توزیع احتمال توأم یا توزیع احتمال مشترک (Joint probability distribution) فراهم می‌کند.

۱-۱-۲ قانون احتمال کل

فضای نمونه S می‌تواند از چندین حد فاصل تشکیل شده باشد. به عنوان مثال، وقتی در یک کشور جنگلی داریم که کل فضای نمونه است و در سه ناحیه متمایز گسترده شده است، وضعیت را می‌توان با نمودار ون به عنوان اتحاد چندین رویداد ناسازگار نشان داد، همانطور که در شکل ۲-۳ نشان داده شده است، در اینجا فضای نمونه S به سه ناحیه S1، S2 و S3 تقسیم می‌شود. فضای نمونه جنگل A است و در S1، S2 و S3 پخش شده است.

ادامه مطلب را با دانلود فایل پیوستی (کاملا تایپ شده و باکیفیت) مشاهده کنید.

حتما بخوانید:

⇐ حفاظت از زیرساخت های صنایع شیمیایی و مواد خطرناک

   

نویسنده: سیروان شیخی

«تجربه در صنعت»، زیربنایِ اشتیاقِ من به دنیایِ HSE است. با بیش از ۱۳ سال فعالیت اجرایی و تخصصی، هدفم در این وب‌سایت، پل زدن میان دانشِ آکادمیک و نیازهای واقعیِ صنعت است. همراه با تیم تخصصی‌ام، می‌کوشیم تا با ارائه محتوای کاربردی و به‌روز، مسیرِ رشد حرفه‌ای شما را هموارتر کنیم. خوشحال می‌شوم در صفحه لینکدین، تجربیاتمان را به اشتراک بگذاریم و در این مسیر تخصصی همراه هم باشیم.